Teori Bilangan Keterbagian FPB

KETERBAGIAN FPB

pengertian teori bilangan keterbagian FPB, sifat-sifat teori bilangan keterbagian FPB, Dalil-dalil teori bilangan keterbagian, contoh soal teori bilangan keterbagian, Pengertian keterbagian, definisi keterbagian, sifat-sifat keterbagian, dalil-dalil keterbagian, contoh-contoh keterbagian, keterbagian, makalah keterbagian, makalah teori bilangan,

Pengertian I keterbagian

Keterbagian atau divisibility artinya, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.

Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat sebarang; b pembagi a jika dan hanya jika ada bilangan bulat c sedemikian sehingga a = bc. Jika ba maka b adalah suatu faktor atau suatu pembagi a, dan a adalah suatu kelipatan dari b.

Jangan dikacaukan antara ba dan b/a yang diterjemahkan sebagai b : a. ba merupakan suatu relasi benar atau salah. Sedangkan b/a merupakan suatu operasi yang mempunyai suatu nilai bilangan tertentu. Untuk lebih memantapkan pengertian ini, bandingkan antara 0 : 0 dan 00. Kita tahu bahwa 0 : 0 tidak terdefinisi, tetapi 00 adalah pernyataan yang benar karena 0 = 0 . a untuk setiap bilangan bulat a. Kita menulis 5┼12 untuk menyatakan bahwa 12 tidak dapat dibagi (tidak habis dibagi) oleh 5, atau 5 tidak membagi 12. Penulisan 5┼12 juga untuk menyatakan bahwa 12 adalah bukan kelipatan 5 dan 5 adalah bukan faktor dari 12.

Contoh :

1)     3 │12, sebab ada bilangan bulat 4 sedemikian sehingga 12 = (4) 3.

2)     3 │-30, sebab ada bilangan bulat -10 sedemikian sehingga –30 = (-10)3.

Pengertian II Keterbagian

Keterbagian

Jika a dan b adalah bilangan bulat dengan  a dikatakan membagi b, jika terdapat sebuah bilangan bulat m sedemikian sehingga b = am dan ditulis a│b dan jika a tidak membagi b,maka ditulis a ł b. 

Pengertian III Keterbagian

Divisibility itu artinya keterbagian, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.

Definisi Keterbagian : Suatu bilangan bulat a disebut membagi b jika ada bilangan bulat lain c sehingga b = ac. Kita juga akan menyebut bahwa a pembagi dari b atau b kelipatan dari a dan ditulis a│b. Jika a tidak membagi habis b maka ditulis a | b

Misalnya kita ingin mengatakan “10 habis dibagi 5”, kita bisa mengilmiahkannya dengan berkata “5 membagi 10”. Nah, lebih ilmiah lagi jika ditulis: 10 mod 5 = 0 atau . Jika tidak habis dibagi, kita dapat mencoret miring lambangnya. Misalnya:. (10 tidak habis dibagi 6).

B. Teori-teori Keterbagian

Teori Keterbagian

Keterbagian Bilangan Bulat 

a. Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n
Contoh :
134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

b. Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5

Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

c. Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3.

Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d. Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9.

Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e. Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11.

Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.
Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

f. Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima.
Berlaku sebaliknya.
Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

g. Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.
Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa.
Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p)

h. Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4.
maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.

i. Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

j. Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

k. Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.

Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1

C. Sifat-sifat keterbagian

Sifat-Sifat Keterbagian

Berikut sifat-sifat keterbagian :

Beberapa sifat-sifat / Teorema keterbagian

Teorema 1                                                             

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a│b dan  b│c maka a│c.

Bukti

a│b dan b│c maka menurut Definisi, terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga  c = bn = (am)n = a(mn). Jadi, c = a(mn). Untuk suatu mn = p  anggota bilangan Bulat maka c = ap Akibatnya menurut Definisi, a│c.   

Untuk lebih jelasnya, diberikan Contoh  berikut.

Contoh

Jika 2│6 dan 6│90 maka menurut Teorema 2│90 karena terdapat bilangan bulat 45 sedemikian sehingga (45)(2) = 90

Teorema 2

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan c│a dan c│b maka c│(am+bm). untuk suatum,n anggota bilangan Bulat

Bukti

c│a dan c│b maka terdapat bilangan bulat xdan y sedemikian sehingga a =cx  dan b =cy  
Sehingga, am = c(xm) dan  bn =c(yn). untuk suatu xm = p dan (yn)=q, Maka:
 am + bn = c(p+q). Akibatnya,c│(am+bn).  

Teorema 3 (Buchmann, 2002: 3) 

a. Jika a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.  

b. Jika a│b dan b│a maka |a| = |b|.

Bukti

a. Jika  a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi, terdapat  m ≠ 0 sedemikian sehingga b = am. 
    Karena b = am maka |b| = |am| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b|. 
b. Andaikan  a│b dan b│a.  Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0  maka b ≠ 0. 
   Selanjutnya,
   Jika  a ≠ 0 dan  b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a, |a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a| sehingga |a| = |b|.

Penjelasan Sifat-Sifat Keterbagian diatas :

1.      Jika suatu bilangan b dibagi oleh bilangan a, dan bilangan c dibagi oleh bilangan b, maka bilangan c dapat dibagi bilangan a.

2.      Jika suatu bilangan c dibagi oleh ab (ab merupakan perkalian dua buah bilangan), maka c dapat dibagi oleh bilangan a dan dapat dibagi oleh bilangan b.

3.      Jika suatu bilangan b dan c dapat dibagi oleh bilangan a, maka ketika bilangan b dan c tersebut dikali dengan suatu bilangan bulat, akan dapat pula dibagi oleh bilangan a.

Berikut adalah sifat-sifat keterbagian yang lainnya :

a.       Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n. Contoh :

134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

b.      Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5. Contoh :

67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

c.       Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3. Contoh :

356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d.      Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9. Contoh :

23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e.       Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11.

Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.

Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

f.       Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya.

Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

g.      Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.

Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa.

Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p)

h.      Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4.
maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.

i.        Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

j.        Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

k.      Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.

Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1

Berikut adalah sifat-sifat keterbagian suatu bilangan :

1.          Bilangan kelipatan 2

Jika bilangan tersebut merupakan bilangan genap (satuan 0, 2, 4, 6, atau 8)

Contoh:

3.560,  467.792,  687.904,  7.586.436,  8.765.368

2.          Bilangan kelipatan 3

Jika jumlah angka-angka pembentuk bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 3. Contoh :

564.741 ------ jumlah angka-angkanya 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 1 = 27 ---- 2 + 7 = 9

9 merupakan bilangan kelipatan 3, jadi 564.741 juga merupakan bilangan kelipatan 3.

3.          Bilangan kelipatan 4

Jika nilai 2 angka terakhir dari bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 4. Contoh:

53.632 -------- 32 merupakan bilangan kelipatan 4, jadi 53.632 juga merupakan bilangan kelipatan 4.

4.          Bilangan kelipatan 5

Jika bilangan tersebut bersatuan 0 atau 5

Contoh: 5.095,  53.890

5.          Bilangan kelipatan 6

Jika bilangan tersebut merupakan bilangan genap, dan jumlah angka-angkanya pembentuk bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 3

Contoh:

24.576 ---------- bersatuan 6, berarti merupakan bilangan genap

Jumlah angka-angkanya 2 + 4 + 5 + 7 + 6 = 24 ----- 2 + 4 = 6 ( 6 kelipatan3)

Karena memenuhi kedua syarat tersebut, maka 24.576 merupakan bilangan kelipatan 6.

6.          Bilangan kelipatan 7

Sampai saat ini belum diketemukan formulanya

7.          Bilangan kelipatan 8

Jika nilai 3 angka terakhir dari bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 8. Contoh:

5.768.144 ----- 144 merupakan bilangan kelipatan 8, jadi 5.768.144 juga merupakan bilangan kelipatan 8.

8.          Bilangan kelipatan 9

Jika jumlah angka-angka pembentuk bilangan tersebut merupakan bilangan kelipatan 9. Contoh:

43.785 --------- jumlah angka-angkanya  4 + 3 + 7 + 8 + 5 = 27 ---- 2 + 7 = 9

9 merupakan bilangan kelipatan 9, jadi 43.785 juga merupakan bilangan kelipatan 9

9.          Bilangan kelipatan 10

Jika nilai satuanya adalah 0

Contoh : 5.640,   67.000,  435.790

D. Dalil-dalil Keterbagian

Keterbagian Dalam Bilangan Bulat

Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian telah dipelajari oleh Euclid 350 SM (Niven, 1999:4).  Pengembangan selanjutnya telah banyak dikembangkan oleh beberapa ahli matematika yang lain, misalnya yang berkaitan dengan bilangan komposit, perkalian dalam usaha untuk mengembangkan teori bilangan. Karena pentingnya sifat keterbagian maka akibatnya konsep tersebut sering muncul dalam Aljabar Modern dan Struktur Aljabar (Muhsetyo, 1994:18)

Definisi

Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu bilangan bulat p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan y │ x yang dapat diartikan sebagai y adalah faktor (pembagi) x, atau x adalah kelipatan y. Jika y tidak membagi x dinotasikan dengan y ┼ x.

Contoh :

1)     3 │12, sebab ada bilangan bulat 4 sedemikian sehingga 12 = (4) 3.

2)     3 │-30, sebab ada bilangan bulat -10 sedemikian sehingga

–30 = (-10)3.

Dalil

Jika a,b,c   Z maka berlaku:

1)     a│ b →  a │bc,  untuk setiap c   Z.

2)     (a │ b, b │c) → a │ c.

3)     (a │ b, b │a) → a = ± b.

4)     (a │ b, a │c) → a │ (b ± c).

5)     (a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap  x,y   Z.

Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan c

6)     ( a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b.

7)     a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m  Z dan m ≠ 0

8) ( a│b dan a │ b+c ) → a │c.

(Dalil Algoritma Pembagian)

Jika a > 0, dan a,b  Z, maka ada bilangan-bilangan q, r  Z yang masing-masing tunggal (unique)  sehingga b = qa + r dengan  0 ≤ r < a.

Jika a ┼ b maka r memenuhi ketidaksamaan 0 < r < a.

Bukti.

Misal a, b  Z, maka dapat dibentuk suatu barisan aritmatika b – na, n  Z, yaitu:

…, b –3a, b – 2a, b-a, b, b + a, b + 2a, ….

Barisan di atas mempunyai bentuk umum b – na.

Selanjutnya, misal S adalah suatu himpunan yang unsur-unsurnya suku yang bernilai positip dari barisan b – na, sehingga:

S = { (b – na) │n  Z, dan b – na > 0 }

Menurut prinsip urutan, maka S mempunyai unsur terkecil, sebut saja r.

Karena r  S, maka r dapat dinyatakan sebagai r = b – qa, dengan q  Z.

Dari r = b – qa dapat diperoleh b = qa + r.

Jadi jika a > 0 dan a,b  Z maka ada q,r  Z  sedemikian sehingga b = qa + r.

Untuk menunjukkan bahwa  0  r < a, maka digunakan bukti tidak langsung sebagai berikut:

Anggaplah bahwa 0  r < a tidakbenar, maka r  a dan dalam hal ini r tidak mungkin negatip karena r  S.

Jika r  a maka r – a  0.

r = b – qa  r – a = b – qa – a

= b – ( q +1) a.

r – a  0 dan  r-a = b – ( q + 1 ) a   0.

r – a  0 dan r – a mempunyai bentuk b – na, maka r – a  S.

Karena a > 0 maka r – a < r sehingga r – a merupakan unsur terkecil dari S dan lebih kecil dari r. Hal ini bertentangan dengan pengambilan r sebagai unsur terkecil S. Jadi haruslah 0  r < a.

Untuk menunjukkan ketunggal q dan r, dimisalkan q dan r tidak tunggal yaitu q₁, q₂, r₁, r₂ Z dan memenuhi hunbungan persamaan

b = q₁a +  r₁

b = q₂a +  r₂

Sehingga   berlaku  q₁a+ r₁ = q₂a+ r₂

( q_{1 –} q₂ ) a + ( r₁ – r₂ ) = 0

( r₁ – r₂ ) = ( q_{2 –} q₁ )a

a │          ( r₁ – r₂ )

a │          ( r₁ – r₂ )  r₁ – r₂ = 0 atau  r₁ – r₂ a ( a  r₁ – r₂ )

r₁ – r₂ = 0  r₁ = r₂ (q_{1 –} q₂ ) a  = 0  q₁ =  q₂

r₁ – r₂ a > 0, r₁ > 0 , r₂ > 0  r₁ a = 0.

Jadi r₁ =  r₂ dan q₁ = q₂ yaitu q dan r masing-masing adalah tunggal.

Selanjutnya jika a ┼ b, maka tidak ada q  Z sehingga b = qa. Hal ini berarti b qa atau b = qa + r dengan  0 < r < a. ( r 0, sebab jika r = 0 diperoleh b = qa).

Definisi

Ditentukan x,y Z yang keduanya tidak bersama-sama bernilai 0, a Z disebut pembagi persekutuan dari x dan y jika a │x dan a │y.

a  Z disebut pembagi persekutuan terbesar (FPB) dari x dan y jika a adalah bilangan bulat positip terbesar sehingga a│x dan a│y.

Untuk selanjutnya jika a adalah pembagi persekutuan terbesar dari x dan y dinyatakan dengan (x,y) = a.

Perlu diperhatikan bahwa (x,y) = a didefinisikan untuk setiap pasangan bilangan bulat x,y  Z kecuali untuk x = 0 dan y = 0. Demikian pula perlu dipahami bahwa (x,y) selalu bernilai positip yaitu (x,y) > 0, atau (x,y) ≥ 1.

Contoh:

1.      Faktor dari 8 adalah  -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8.

2.      Faktor dari 20 adalah –20, -10, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 10, 20

3.      Faktor Persekutuan 8 dan 20 adalah –4,-2,-1, 1, 2, 4

4.      Faktor Persekutuan terbesar 8 dan 20 adalah 4 atau (8,20) = 4

Selanjutnya perhatikan bahwa

(12,16) = 4,  (60,105) = 15, (3,5) = 1, (17,19)= 1. dan seterusnya.

Dalil

1.      Jika d = (x,y) maka d adalah bilangan bulat positip terkecil yang mempunyai bentuk umum  a_ox + b_oy dengan a_o, b_o Z

Bukti.

Dibentuk kombinasi linear (ax + by)  dengan a,b  Z. Barisan bilangan ax + by memuat bilangan-bilangan negatip, bilangan nol (untuk a = 0 dan b = 0), dan bilangan-bilangan yang bernilai positip.

Ambil S = {ax + by │ ax + by > 0 }, maka dapat ditentukan bahwa S  N. Karena N adalah himpunan terurut dan S  N, maka S mempunyai unsur terkecil dan sebutlah dengan t, dan t S, maka tentu ada a = a_o dan b = b_o sehingga  t = a_ox + b_oy dan selanjutnya dapat dibuktikan bahwa  t │ x  dan t │ y.

Untuk membuktikan apakah t │ x, digunakan bukti tidak langsung .

Misal  t ┼ x, maka menurut dalil sebelumnya ada q,  r Z sehingga

x = qt + r dengan 0 < r < t

r = x – qt

= x – q(a_ox + b_oy)

r = ( 1-a_oq)x + (-b_oq)y

r =  a₁x + b₁y dengan  a₁ = 1-a_oq  Z, dan

b₁ = -b_oq   Z.

Jadi r = a₁x + b₁y  Z dengan r, t S, t merupakan unsur terkecil  S ran r < t. Hal ini bertentangan dengan dengan pemisalan  t ┼ x. Dengan demikian anggapan t ┼ x tidaklah benar. Jadi haruslah t │ x.

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa t │ y.

Dari t │ x dan t │ y berarti t adalah pembagi persekutuan dari x dan y.

d = (x,y) berarti d │ x sehingga  p  S sehingga x = dp.

d = (x,y) berarti d │ y sehingga  p  S sehingga y = dp.

t = a_ox + b_oy

= a_o (dp) + b_o (dp)

d │ t,  d 0, t > 0 maka sesuai dengan dalil sebelumnya d  t dan d tidak lebih kecil dari t, sedangkan d adalah pembagi persekutuan dari x dan y.

Jadi d = t = a_ox + b_oy

Berdasarkan urian di atas jelaslah bahwa d = (x,y) merupakan bilangan bulat positip terkecil yang mempunyai bentuk (ax + by) dengan a,b  Z.

Dengan demikian terlihat bahwa tidak ada bilangan positip selain d yang membagi x dan y dan mempunyai bentuk (ax + by)

1.      Jika t  Z dan t > 0, maka (tx,ty) = t (x,y)

Bukti

Sesuai dengan bukti dalil 1 di atas, maka:

(tx,ty) =  bilangan bulat positip terkecil yang mempunyai bentuk(atx + bty) dengan    bilangan a,b  Z

=  atx + bty

= t (ax + by)

= t merupakan bilangan bulat positip terkecil yang mempunyai bentuk (ax+by)

=  t (ax +by)

1.      Jika x,y  Z dan d = (x,y) maka (,) = 1

Bukti

d = (x,y) berarti d │x dan d │y dan ,   Z

(x,y) = (d. , d.) = d (, )

Karena d > 0 maka d (, ) atau 1 =  (, )

Dengan demikian (, ) = 1

1.      Jika x,y,w  Z,  w │xy, dan (y,w) = 1 maka w │ x.

Bukti

(y,w) = 1 maka menurut definisi FPB 1 adalah bilangan bulat positip terkecil  yang mempunyai bentuk ay + bw dengan a,b  Z

ay + bw = 1 berarti ayx + bwx = x

w │ xy → w │ axy

w │ axy dan w │ bxw → w │ axy + bxw

w │ axy + bwx dan axy + bxw = x  → w │ x.

1.      Jika (x,t) = 1 dan (y,t) = 1, maka (xy,t) = 1

Bukti:

(x,t) = 1 → terdapat a_o dan b_o Z sedemikian sehingga a_ox+b_ot=1

(y,t) = 1 → terdapat a_o dan b_o Z sedemikian sehingga a₁y+b₁t=1

a_ox+b_ot=1   → a_ox = 1 – b_ot

a₁y+b₁t=1   → a₁y = 1 – b₁t

a₁x = 1 – b_ot   dan a₁y = 1 – b₁t  maka:

(a_ox)(a₁y) = (1 – b_ot)(1 – b₁t)

= 1- (b_o - b₁ + b_ob₁t)t

(a_oa₁)(xy) = (1- b₂)t atau  (xy) a₂ +b₂t=1 dengan

a₂ = a_oa₁ dan b₂ = b_o - b₁ + b_ob₁t

Karena (xy,t) = 1 adalah bilangan bulat positip tekecil yang mempunyai bentuk (xy) a₂ +b₂t=1 maka (xy,t) haruslah 1 sehingga (xy,t) = 1

1.      Ditentukan x,yZ , (x,y) = d. Ekuivalen dengan d > 0, d │x,   d│y dan f │d untuk setiap f pembagi persekutuan x dan y.

Bukti

d = (x,y) maka menurut definisi d adalah bilangan bulat positip terbesar  sehingga d │x,      d│y, hal ini berarti bahwa d > 0. Demikian pula d = (x,y) berarti d adalah bilangan bulat positip terkecil dan berbentuk (ax + by), dengan a,bZ.

Jadi d = ax + by.

Misal f adalah sebarang pembagi persekutuan dari x dan y, maka berlaku f │x dan f │y, sehingga f  │ax dan f │ay dan menurut sifat keterbagian berlaku f │ ax + by.

f │ ax + by  dan d = ax + by → f │d.

Sebaliknya, jika d > 0 dan d │ x   d│ y serta f │ d, dengan f adalah sebarang pembagi persekutuan x dan y maka d  f ( karena d = kf, k Z ) untuk sebarang f pembagi persekutuan x dan y.

Jadi d adalah pembagi persekutuan terbesar  dari x dan y. Atau d = (x,y)

1.      Untuk setiap a, x, y  Z, berlaku:

( x,y ) = ( y,x ) = ( x,-y) = ( x, y + ax ).

Bukti

d = (x,y) maka menurut definisi d adalah bilangan bulat positip terbesar  sehingga d │x,      d│y, hal ini berarti bahwa d > 0.

Jadi d = (x,y) atau d = (y,x).

Karena d merupakan bilangan bulat positip terbesar yang membagi x dan y, dan y membagi (-y), maka d juga merupakan bilangan bulat positip terbesar yang membagi x dan (-y), sehingga d = (x,-y).

Selanjutnya (x,y) │x berarti (x,y) │ax.

(x,y) │ax  dan (x,y) │y → (x,y) │ax + y.

(x,y) │ax dan (x,y) │ax + y →(x,y) adalah pembagi persekutuan dari x dan y+ax, sehinggga menurut dalil sebelumnya berarti (x,y) │(x,y+ax)

(x,y+ax) adalah pembagi persekutuan dari x dan (y+ax), hal ini berarti

(x,y+ax) │x  dan (x,y+ax) │ (y+ax)

(x,y+ax) │x   (x,y+ax) │ax 

(x,y+ax) │x  dan (x,y+ax) │y+ax  (x,y+ax) │y

Karena (x,y+ax) adalah suatu pembagi persekutuan dari x dan y,

maka  (x,y+ax) │  (x,y) . Jadi (x,y+ax) = (x,y)

Cara Lain Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar dan Kombinasi    Linear

Marilah kita ingat kembali dalil  Algoritma Pembagian Euclides

Jika r₁, r₂ Z, dan r₁ > r₂ dan dengan proses algoritma pembagian dibentuk

Suatu barisan menurun bilangan-bilangan bulat r₁, r₂, r₃, … , r_k-1, r_k, r_k+1=0

Yaitu:

r₁ =  q₁r₂ + r₃ ,    0 ≤ r₃ < r_2.

r₂ =  q₂r₃ + r₄ ,    0 ≤ r₄ < r_2.

r₃ =  q₃r₄ + r₅ ,    0 ≤ r₅ < r_2.

r₄ =  q₄r₅ + r₆ ,    0 ≤ r₆ < r_2.

………………………………………

r_k-2 =  q_k-2r_k-1 + r_k ,    0 ≤ r_k < r_2.

r_k-1 =  q_k-1r_k + r_k+1 ,    r_k+1 = 0

Maka (r₁,r₂) = r_k.

Sehingga diperoleh :

r₃ =  r₁ – q₁r₂

r₄ =  r₂ – q₂r₃

r₅ =  r₃ – q₃r₄

r₆ =  r₄ – q₄r₅

r_i =  r_i-2 – q_i-2r_i-1

Berdasarkan persamaan tersebut di atas dapat diketahui bahwa bilangan bulat r_i ditentukan oleh r_1-1 dan r_i-2

Andaikata Algoritma pembagian Euclid di atas dinyatakan dalam bentuk x dan y, yaitu:

x₁ =  q₁x₂ + x₃ ,    0 ≤ x₃ < x_2.

y₁ =  q₁y₂ + y₃ ,    0 ≤ y₃ < y_2.

maka dengan cara yang sama (analog) diperoleh bentuk persamaan dalam x dan y yang secara umum dinyatakan oleh x_i =  x_i-2 – q_i-2x_i-1 dan y_i =  y_i-2 – q_i-2y_i-1 .

Sehingga terdapat 3 persamaan dalam bentuk r_i, x_i, dan y_i dan selanjutnya masing-masing konstanta tersebut  dapat dimulai dengan syarat awal yang berbeda.

r_-1 = r₁,   r_o = r₂

x_-1 = 1,   x_o = 0

y_-1 = 0,   r_o = 1

Secara lengkap langkah untuk menentukan masing-masing konstanta dapat dilihat pada table berikut ini:

i	qi+1	ri	xi	yi
-1	*	r1 (b)	1	0
0	…	r2 (a)	0	1
1	…	…..	….	…..
2	…..	…..	….	…..
3	…..	…..	….	…..
Dstnya.	…..	…..	….	…..

Titik-titik pada masing-masing kolom diisi dengan menyesuaikan bentuk persamaan

r_i =  r_i-2 – q_i-2r_i-1

x_i =  x_i-2 – q_i-2x_i-1

y_i =  y_i-2 – q_i-2y_i-1

Contoh.

1.      Tentukan (42823,6409) dan tentukan selesaian kombinasi linearnya.

42823 x + 6409 y = 17

Jawab

Tabel untuk masing-masing konstanta adalah

i	qi+1	ri	xi	yi
-1	-	42823	1	0
0	6	6409	0	1
1	1	4369	1	-6
2	2	2040	-1	7
3	7	289	3	-6-2(7)=-20
4	17	17	-1-7(3)=-22	7-7(-20)=147
5	-	0	-	-

Diperoleh  (42823,6409) = 17 dan 17 = 42823(-22) + 6409(147)

E. FPB

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

FPB merupakan faktor paling besar dari gabungan beberapa bilangan

Cara mencari FPB

Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan

Contoh

Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24

Faktor 18  =  {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Faktor 24  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Faktor persekutuan dari 18 dan 24 =  { 1, 2, 3, 6}

FPB dari 18 dan 24 =  6

Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120

Faktor 75  =  {1, 3, 5, 15, 25, 75}

Faktor 120            =  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

Faktor persekutuan dari 75 dan 120  =  {1, 3, 4, 15}

FPB dari 75 dan 120  =  15

Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72

Faktor 36  =  {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Faktor 48  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}

Faktor 72  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

Faktor persekutuan dari 36 dan 48  =  {1, 2, 3, 4, 6, 12}

FPB dari 36 dan 48  =  12

Menggunakan Pohon Faktor

·         Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.

·         Tulis faktorisasi primanya.

·         Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.

·         Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah bilangan prima dengan pangkat yang terendah.

Contoh

Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30

·         2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.

·         Pangkat terendah dari 2 adalah 1.

·         Pangkat terendah dari 5 adalah 1.

·         Maka FPB =  2 X 5  =  10

Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60

·         2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.

·         Pangkat terendah dari 2 adalah 2.

·         Pangkat terendah dari 3 adalah 1.

·         Maka FPB =  2² X 3 =  12

Tentukan FPB dari bilangan 18, 30, dan 36

·         2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima ketiga pohon faktor.

·         Pangkat terendah dari 2 adalah 1.

·         Pangkat terendah dari 3 adalah 1.

·         Maka FPB =  2 X 3 =  6

Menggunakan Tabel

·         Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.

·         Beri tanda faktor prima yang sama.

Contoh

Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35

	21	35
3	7	5
5	7	1
7	1	1

FPB  =  3

Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54

	36	54
2	18	27
2	9	27
3	3	9
3	1	3
3	1	1

FPB  = 2 X 3 X 3

=  2 X 3² =  18

Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120

	75	105	120
2	75	105	60
2	75	105	30
2	75	105	15
3	25	35	5
5	5	7	1
5	1	7	1
7	1	1	1

FPB  =  3  X  5  =  15